मान लीजिए f(x) = begin{cases} x sin left( fra | vedclass

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Question

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \

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$x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं

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(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)$.चूँकि $|\sin 	heta| \leq 1$,हमारे पास $|f(x)| = |x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)| \leq |x \sin \left( \frac{1}{x} ight)| \leq |x|$ है।जैसे $x 	o 0$,$|x| 	o 0$,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ का मान ज्ञात करते हैं।मान लीजिए $g(h) = \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ है। जैसे $h 	o 0$,$\sin \left( \frac{1}{h} ight)$ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। पद $\frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)}$ भी दोलन करता है और मनमाने ढंग से बड़े मान लेता है,जिससे दूसरा साइन पद भी दोलन करता है। अतः,सीमा का अस्तित्व नहीं है।इसलिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. तो $f(x)$ है:

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} (1+ax)^{1/x} & , x < 0 \\ 1+b & , x = 0 \\ \frac{(x+4)^{1/2}-2}{(x+c)^{1/3}-2} & , x > 0 \end{cases}$ $x=0$ पर सतत है। तो $e^2bc$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^{n}-n}{x-1}$ जहाँ $x \neq 1$,$x=1$ पर सतत है,तो $f(1) =$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{|x - a|}{x - a}, & x \neq a \\ 1, & x = a \end{cases}$,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} ax + 7, & \text{यदि } x < 1 \\ 3x - 1, & \text{यदि } x = 1 \\ \frac{x + 3}{b}, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर संतत है, तो

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